初中数学圆说课稿

　作为一位无私奉献的人民教师，有必要进行细致的说课稿准备工作 ，认真拟定说课稿
，说课稿要怎么写呢？下面是我收集整理的初中数学圆说课稿，供大家参考借鉴 ，希望可以帮助到有需要的朋友 。

初中数学圆说课稿1

　一 、说教材：

　“圆的认识”是“人教版 ”六年级上册第四单元的内容
，它是几何初步知识内容，既是一节起始课 ，也是后继学习“圆的周长
”
、“圆的面积”、“圆柱 ” 、“圆锥
”的基础
。

　《圆的认识》是在学生学习了直线图形的认识和面积计算
，以及对圆有了初步的感性认识的基础上进行教学的。学生从学习直线图形的知识，到学习曲线图形的知识 ，不论是内容本身，还是研究问题的方法
，都有所变化 。教材通过对圆的研究，使学生初步认识到研究曲线图形的基本方法
。同时 ，也渗透了曲线图形和直线图形的关系。这样不仅扩展了学生的知识面
，而且从空间观念方面来说，进入了一个新的领域 。因此 ，通过对圆的认识
，不仅能加深学生对周围事物的理解，提高解决简单实际问题的能力 ，也为今后学习圆的周长
、圆的面积、圆柱 、圆锥等知识打好基础
。

　二
、说教学目标：

　结合本节课的内容特点
，本人确定了以下的教学目标：

　1、知识与技能：通过画一画 、折一折、量一量等活动，观察
、体会圆的特征 ，认识圆的各部分名称
，理解在同圆或等圆中直径与半径之间的关系。了解、掌握多种画圆的方法，并初步学会用圆规画圆

　2 、过程与方法：通过想象与验证
、观察与分析、动手操作 、合作交流等活动 ，使学生体会到圆的各点分布均匀性和广泛的对称性，同时获得思维的进一步发展与提升 。

　3
、情感态度价值观：结合具体的情境
，体验数学与日常生活的紧密联系，并能用圆的知识来解释生活中的简单现象。

　三、说重点 、难点：

　教学重点：理解和掌握圆的特征 ，学会用圆规画圆的方法
。

　教学难点：理解“圆上”的概念
，归纳圆的特征。

　教学准备：

　学生：剪刀
、白纸若干张、彩笔 、圆规
、直尺、圆形物体一个

　教师：课件 、圆规、直尺
、圆形纸片

　四、说教法 、学法：

　教法：在本节课中要注重学生的学习行为方式的改变
、课程资源的开发利用 。从欣赏圆、发现圆开始，深深吸引学生 ，课堂教学中
，要注意调动学生的多种感官参与学习，通过学生的自主探索 、合作交流
、共同分享等 ，引领学生经历了一次“研究与发现 ”的完整过程
。教给学生学法：情境中欣赏圆的魅力——合作中探究圆的特征——介绍中体验圆的数学文化——实践中感受圆的数学价值
，大胆放手，把一切探究的机会交给学生。学生不仅学得轻松活泼 ，而且较好地体现了新课程的教学理念 。

　五、说教学过程

　对本节课的教学
，我精心设计了二个主要环节
。

　（一） 、创设情境
、导入新课

　我们以前都和哪些平面图形做了朋友？这些图形都是用什么线围成的？简单说出这些图形的特征。

　（二）、突出主体 、探究新知

　1
、初步感知圆

　首先我会让学生举举生活中的例子 。“日常生活中哪些物体的形状是圆的？
”学生可能会说出：硬币、光碟 、路标、钟面
、车轮等，这些物体的形状都是圆的
。让学生初步感知圆 ，培养学生的空间想象力。同时，我会出示一些生活中的圆形
，让学生感受到圆就在我们身边 。

　接着，我会出示的两组图形 ，第一组是长方形、正方形 、三角形
、平行四边形、梯形
，第二组就是圆形，通过对比 ，可以清楚地看到
，第一组图形是由线段首尾连接所围成的，而圆是由曲线所围成的 ，形成正确表象——圆是一种平面上的曲线图形
。

　通过课件展示圆的画面及各部分的名称
，同时根据课件让学生分析圆上，圆内 ，圆外和圆心各指什么？我在适时讲解加深学生的理解

　2 、认识圆的各部分名称和特征

　活动一：小组合作探究

　（1）以四人为一小组
，一起动手折一折
、量一量、比一比 、画一画，你发现了什么？并在小组内交流。

　（2）把你们的发现 ，准备与大家一起交流分享 。

　（1）找圆心

　首先让学生把事先准备好的圆形纸对折后打开，用笔和直尺把折痕画出来
，并在圆形纸的其他位置上重复上面的折纸活动二
、三次。操作后，问：“你发现了什么？”学生亲手操作后 ，发现所有的折痕都会相交于一点
。这些折痕的交点
，正好在圆的正中心，我们数学上把这一点叫作圆心 ，用字母“O ”来表示。（设计意图：通过学生的直观操作
，使学生的学习过程“动作化”，调动学生多种感官参与学习 ，并有意设置一些认知冲突
，让学生积极主动地参与知识的形成过程 。）

　（2）认识半径、直径

　连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用字母r表示
。

　通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径 ，直径一般用字母d表示。在这里因为有半径的知识做基础
，我会尝试放手，让学生小组合作探讨直径的知识 ，

　活动二：一起动手

　1请同学们在圆纸片上画出半径，10秒钟
，看能画出多少条？直径呢？

　2请同学们用直尺量一量画出的半径有多少厘米？你发现了什么？直径呢？

　3请分四人小组讨论在同一个圆里，半径有什么特征？直径有什么特征？它们之间有什么关系？通过测量和比较 ，让学生理解和掌握在同一个圆里半径和直径之间的关系
，让学生用含有字母的式子表示半径是直径的一半 、直径是半径的2倍关系 。得出d=2r与r=d/2的字母公式，并在练习中通过填表强调了圆内半径与直径的对应关系 ，还要求学生在圆内一些线段中
，找出半径和直径
。（设计意图：合理发挥学生的主体作用，让学生动脑
、动手、动口 、动眼 ，自主探索知识的形成与发展
，并及时巩固学习成果。）

　口答：

　3、掌握画圆方法

　在教学画圆的过程中，我同样会放手让同学们大胆的动脑 ，动手探索不同的画圆方法 。我会在课本知识的基础上在向外延伸我会向学生提问：刚才同学们画圆都用到了什么方法和工具啊？和大家交流借鉴一下经验好吗？学生会说出不同的方法和工具如硬币线
，笔，圆规等此时我会装做很着急的样子向学生问：老师想画一个8厘米的圆可不可以用一元钱的硬币呢？为什么啊？生：学生会从大小不符合等方面来说明不行此时我又会说那我要是想画一个6厘米的圆又该怎么办呢？为什么啊？生：可能会比较困难（我在适时从大小符合以及方便等方面慢慢导出学生说出用圆规画圆）接下来我在小结得出画大小不同的圆 ，我们通常用圆规来画
。并播放课件圆规确定半径的方法以及圆规画圆的方法的过程（并得出结论用圆规画圆可以画出大小不同的圆，也可以得到我们想要的圆再次论证得出半径越大
，圆就越大，半径越小 ，圆就越小

　最后
，我根据以上所学的内容，为学生准备了两道习题来加深所学的知识 ，一是让同学们1
、用圆规画出半径是2厘米的一个圆
，并用字母O、r 、d分别标出它的圆心
、半径、和直径。2 、画出直径是4厘米的一个圆 。

　实际应用：学校田径运动会即将举行，你有办法帮学校在操场上画出一个半径为10米的圆吗？我会适时加以巩固 ，在所学知识基础上史料连接
，有关圆的知识，名言等 ，通过课件展示使学生体会圆所蕴涵的历史和文化积淀
，激发学生学数学，用数学的激情以及在以后的数学学习中 ，更加用心圆与生活又有很大的联系通过解决生活中的实际问题，使学生感到成功的快乐
。学数学
，用数学，数学无处不在

　巩固练习

　1
、填空。

　（通过这道题让学生回顾了本节课所学内容 ，检验了学生对所学内容的掌握情况）

　2、判断
，并说为什么 。

　（这些题进一步加深对圆的认识，并培养学生分析 、推理和判断能力。）

　板书设计：

　圆的认识

　图略

　圆心O半径r直径d

　d=2r或r=d/2

　圆规画圆：定半径
、定圆心、旋转一周

初中数学圆说课稿2

　一 、教材分析

　圆柱的认识是全日制聋校实验教材第十五册第二单元的内容
。圆柱是一种比较常见的几何立体图形 ，这部分内容包括圆柱的特征
，圆柱各部分的名称和圆柱侧面展开图。教学这部分内容，有利于发展学生的空间观念 ，为进一步学习圆柱的侧面积
，表面积，体积和解决实际问题打好基础 。

　二
、学情分析

　由于聋校八年级学生已经初步具备了一定的.自学能力 ，能够根据具体情况
，在已有认知的基础上进行相互探讨，所以我在本课采用让学生动手操作、自主学习 、合作探究等方法来获取新知识
。并利用多媒体课件来突破本课的重、难点 ，同时针对聋生听力受损，语言发展相对滞后的特点
，在课堂上注重了聋生语言的培养，采用双语教学 ，鼓励聋生自主发言
，发展聋生的语言。

　三
、教学目标

　1、知识与技能目标

　使学生知道圆柱各部分的名称，理解圆柱的侧面展开图 ，掌握圆柱的特征 。

　2 、过程与方法目标

　通过观察
、想象、操作 、讨论等活动
，培养学生自主探究
、动手实践、合作创新的能力；同时渗透转化的思想
。

　3 、情感态度价值观目标

　运用课件提供的教学情境，使学生能直观感受圆柱的侧面展开图 ，初步渗透事物发展
、变化规律的辩证观点。并使学生切实感受到数学与自己的生活息息相关
，体验到学习数学的价值 。

　教学重点：掌握圆柱的特征
。

　教学难点：理解圆柱侧面展开图的特点。

　四、教学内容与过程

　本课我采用了实践操作法 、课件演示法
、小组讨论式教学法等相关的教法 。教师只是以组织者，引导者与合的身份 ，引导学生主动参与到整个学习过程中去
，在互动的过程中充分地激起学生的探究热情
。因此我精心设计了以下几个环节。

　（一）创设情境，激趣导入

　1、打开多媒体课件 ，出示圆柱的实物模型 。同时感知生活中的一些具体实物，让学生明白数学于生活。

　（通过以上教学
，让学生初步接触圆柱，从生活实际感知圆柱 ，感受数学同生活息息相关
。同时很巧妙自然的引入了课题
，为学习新课做好铺垫。）

　（二）自主探究，了解圆柱

　1 、学生自主学习 ，认识圆柱的各部分名称及特征 。

　教师引导：拿出自己准备的实物
，结合教材，通过看一看 ，摸一摸
，想一想圆柱各部分的名称是什么？都有什么特征？

　2、生汇报，师订正
。通过学生的语言 ，描述出圆柱各部分的特征
，师课件演示加以验证。（课堂实录）

　（针对聋生注意力不集中的特点，我让学生自主探究 ，自己提供教学材料，这样能迅速激发学生的探索兴趣
，为探求新知作好心理上的准备，并运用课件验证了自己的想法 。对圆柱的底面
、侧面和高进行了演示 ，让学生清晰的感知各部分的名称和特征
，一目了然，更加有效地激发了学生的观察兴趣 ，同时提高了学生的注意力
。）

　（三）合作交流
，深化感知

　1、合作探究，圆柱的侧面展开。

　（1）学生分组动手操作：把圆柱模型的侧面剪开 ，再展开
，观察形状 。

　（2）师：你是怎样剪的？展开后得到了一个什么图形？

　（3）学生操作后汇报，教师通过课件验证和补充
。（课堂实录）

　（该环节是精心设计的 ，力求让学生成为学习的主人
，通过学生的合作探究，体现学生在数学课堂上的主人意识。同时通过多媒体课件的演示 ，展示了圆柱侧面不同剪法的演变过程，浅显易懂
，让学生很容易就了解了圆柱侧面的特征 。）

　2 、同伴互助，寻求发现

　（1）让学生在动手操作中得到展开后长方形的长和宽与圆柱的关系
。

　（2）教师课件演示展开图加以验证 ，轻松的突破本课的难点。（课堂实录）

　（让学生在合作中发现问题
、探讨问题、解决问题
，激发学生的求知欲望，同时通过形象的课件演示 ，轻松的分散了本课的难点
，突出了本课的重点；调动了学生学习的积极性 。）

　（四）巩固拓展，延伸应用

　课件出示：

　1 、下面哪些物体是圆柱？

　2
、指出下列圆柱的底面、侧面和高。

　3 、实际测量圆柱的底面周长和高
。

　（练习的设计 ，既有对刚刚学过的圆柱认识的运用
，也有围绕易混易错之处，让学生用手势判断 ，使学生在宽松的氛围里
，勇于发言
、敢于辩论。训练说理能力的同时，学生的思维也得到训练 。）

　（五）自主小结 ，提升理念

　师：我们初步认识了圆柱，谁能告诉老师
，对于圆柱你都知道了什么？

　（这既是课堂小结，也是对学生的人文培养重要体现
。让学生在自主发挥的同时 ，培养了学生的表达能力。）

　五、教育技术的应用

　信息技术作为一种教育手段
，越来越多的被运用到课堂教学中，不但能创设一定的情境 ，而且能调动学生的积极性
，更加的凸显教学效果 。而flash课件更是以其演示功能强大，动画效果明显等特点被广大教师经常所应用
。本课我运用了flash课件对相关的知识进行了动画演示 ，课件贯穿了整个课堂。上课伊始
，我对圆柱的底面 、侧面和高进行了课件演示，让学生清晰的感知各部分的名称和特征 。让学生在开课的时候 ，就对本课产生一种兴趣
。课中展示了圆柱侧面不同剪法的演变过程
，浅显易懂，让学生很容易就了解了圆柱侧面的特征 ，轻松的突破了难点，同时
，在此基础上展示圆柱侧面展开后与展开前的关系，让学生一目了然 ，总之
，在课堂教学中运用信息技术，能更好的完成教学目标 ，达到更好的教学效果。

　六
、评价和反思

　课程标准中指出：既要关注学生的学习结果
，又要关注学生的学习过程，更要关注他们在活动过程中所表现出来的情感与态度 。本课以学生已有的生活经验为基础 ，让学生通过想象、描述 、合作交流
，从实物观察、到动手操作等多种方式来认识圆柱，并运用多媒体课件 ，及时有效的分散了难点
，突破了重点，让学生在轻松愉悦的气氛中 ，扎实的掌握了所学的知识，突出“做数学
”这个数学理念
。也使学生在合作中共同进步
，体验成功。

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六年级上册数学资料

#六年级# 导语 整理了小学六年级上册数学知识点大全1-7单元，希望对你有帮助!

第一单元分数乘法

一
、分数乘法

(一)分数乘法的意义：

1、分数乘整数与整数乘法的意义相同 。都是求几个相同加数的和的简便运算。

例如：65×5表示求5个65的和是多少? 1/3×5表示求5个1/3的和是多少?

2 、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少
。　

例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。

4×3/8表示求4的3/8是多少.

(二)
、分数乘法的计算法则：

1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子 ，分母不变 。(整数和分母约分)

2 、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子
，分母相乘的积做分母
。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。

3
、为了计算简便 ，能约分的要先约分
，再计算 。（尽量约分，不会约分的就不约 ，常考的质因数有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）

4、小数乘分数
，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算）
。

(三) 、 乘法中比较大小的规律

一个数(0除外)乘大于1的数 ，积大于这个数。

一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)
，积小于这个数 。

一个数(0除外)乘1，积等于这个数
。

(四)
、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、结合律和分配律 ，对于分数乘法也同样适用 。

乘法交换律： a × b = b × a

乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )

乘法分配律： ( a + b )×c = a c + b c

二 、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法)，即求单位“1 ”的几分之几是多少)

1
、画线段图：(1)两个量的关系：画两条线段图
，先画单位一的量，注意两条线段的左边要对齐
。(2)部分和整体的关系：画一条线段图。

2、找单位“1
”： 单位“1” 在分率句中分率的前面；

或在“占 ” 、“是
”、“比”“相当于 ”的后面 。

3
、写数量关系式的技巧：

(1)“的
” 相当于 “×” ，“占 ”、“相当于
”“是” 、“比 ”是 “ = ”

(2)分率前是“的
”字：用单位“1”的量×分率=具体量

例如：甲数是20
，甲数的1/3是多少？列式是：20×1/3

4
、看分率前有没有多或少的问题；分率前是“多或少 ”的关系式：

（比少）：单位“1
”的量×(1-分率)=具体量；

例如：甲数是50，乙数比甲数少1/2 ，乙数是多少？

列式是：50×（1-1/2）

（比多）：单位“1”的量×(1+分率)=具体量　

例如：小红有30元钱
，小明比小红多3/5，小红有多少钱？

列式是：50×（1+3/5）

3、求一个数的几倍是多少：用 一个数×几倍；

4 、求一个数的几分之几是多少： 用一个数×几分之几。

5
、求几个几分之几是多少：用几分之几×个数

6、求已知一个部分量是总量的几分之几 ，求另一个部分量的方法：

(1) 、单位“1 ”的量×(1-分率)=另一个部分量（建议用）

(2)
、单位“1
”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量

例如：教材15页做一做和16页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字“其中 ”）

第二单元位置与方向（二）

一、确定物体位置的方法：1 、先找观测点；2
、再定方向（看方向夹角的度数）；3、最后确定距离（看比例尺）

二 、描绘路线图的关键是选好观测点
，建立方向标，确定方向和路程
。

三、位置关系的相对性：1
、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时 ，观测点不同
，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。

四、相对位置：东--西；南--北；南偏东--北偏西 。

第三单元分数除法

三 、倒数

1
、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数
。

强调：互为倒数 ，即倒数是两个数的关系，它们互相依存
，倒数不能单独存在。　(要说清谁是谁的倒数) 。

2、求倒数的方法：

(1) 、求分数的倒数：交换分子分母的位置
。

(2)
、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。

(3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数 ，再求倒数 。

(4) 、求小数的倒数： 把小数化为分数
，再求倒数
。

3
、 1的倒数是1； 因为1×1=1；0没有倒数，因为0乘任何数都得0 ，(分母不能为0)

4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。

5 、运用
，a×2/3=b×1/4求a和b是多少 。把a×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒数和求1/4的倒数
。

1
、分数除法的意义：

乘法： 因数 × 因数 = 积

除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数

分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数 ，求另一个因数的运算。

例如：1/2÷3/5意义是：已知两个因数的积是1/2与其中一个因数3/5
，求另一个因数的运算 。

2、分数除法的计算法则：

除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

3 、分数除法比较大小时的规律：

(1)当除数大于1 ，商小于被除数;

(2)当除数小于1(不等于0)
，商大于被除数;

(3)当除数等于1，商等于被除数
。

“[ ]
”叫做中括号。一个算式里 ，如果既有小括号，又有中括号
，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的 。

二、分数除法解决问题

1 ，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X
，用方程解答
。

解：设未知量为X （一定要解设）,再列方程 用 X×分率=具体量

例如：公鸡有20只，是母鸡只数的1/3 ，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数
，单位一未知.）解：设母鸡有X只 。列方程为：X×1/3=20

(2)算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法：

即已知单位“1 ”的几分之几是多少，求单位“1
”的量
。

分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量

例如：公鸡有20只 ，是母鸡只数的1/3
，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数，单位一未知 ，）用除法
，列式是：20÷1/3

2
、看分率前有没有比多或比少的问题；

分率前是“多或少 ”的关系式：

（比少）：具体量÷ (1-分率)= 单位“1”的量；

例如:桃树有50棵，比苹果树少1/6 ，苹果树有多少棵 。

列式是：50÷（1-1/6）

（比多）：具体量　÷ (1+分率)= 单位“1
”的量

例如:一种商品现在是80元，比原价增加了1/7
，原价多少？

列式是：80÷（1+1/7）

3、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另一个数，结果写为分数形式
。

例如:男生有20人 ，女生有15人
，女生人数占男生人数的几分之几。

列式是：15÷20=15/20=3/4　

4 、求一个数比另一个数多几分之几的方法：

用两个数的相差量÷单位“1”的量 =分数

即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式 。

例如：5比3多几分之几？（5－3）÷3=2/3

②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数） ，结果写为分数形式
。

例如：3比5少几分之几？（5－3）÷5=2/5

说明：多几分之几不等于少几分之几
，因为单位一不同。

5
、工程问题：把工作总量看作单位“1 ”，合做多长时间完成一项工程用1÷效率和 ，即1÷（1/时间+1/时间）
，（工作效率=1/时间）

例如：一项工程甲单独做要5天完成，乙单独做要10天完成 ，甲单独做要3天完成
，三人合做几天可以完成？列式：1÷（1/5+1/10+1/3）

第四单元比

(一)、比的意义

1 、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比 。

2
、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项 ，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值
。

例如 15 ：10 = 15÷10=3/2(比值通常用分数表示
，也可以用小数或整数表示)

15　 ∶ 10　 ＝　 3/2

前项 比号 后项　 比值

3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍 。

也可以表示两个不同量的比 ，得到一个新量
。例： 路程÷速度=时间。

4 、区分比和比值

比：表示两个数的关系
，可以写成比的形式，也可以用分数表示 。

比值：相当于商 ，是一个数
，可以是整数，分数 ，也可以是小数
。

5
、根据分数与除法的关系
，两个数的比也可以写成分数形式。

6、　比和除法 、分数的联系：

比 前 项 比号“：
” 后 项 比值

除 法 被除数 除号“÷” 除 数 商

分 数 分 子 分数线“— ” 分 母 分数值

7
、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数 ，比表示两个数的关系 。

8 、根据比与除法、分数的关系
，可以理解比的后项不能为0
。

9
、体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式 ，不表示两个数相除的关系。

10、求比值：用前项除以后项，结果是写为分数（不会约分的就不约分）

例如：15∶ 10　＝15÷10＝15／10＝3/2

(二) 、比的基本性质

1
、根据比、除法 、分数的关系：

商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)
，商不变 。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变
。

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外) ，比值不变。

2
、最简整数比：比的前项和后项都是整数
，并且是互质数，这样的比就是最简整数比 。

3、根据比的基本性质 ，可以把比化成最简单的整数比。

4.化简比：

(2)用求比值的方法
。注意： 最后结果要写成比的形式。

例如： 15∶10 = 15÷10 =15／10＝ 3/2 = 3∶2

还可以15∶10 = 15÷10 = 3/2　最简整数比是3∶2

5 、比中有单位的
，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位 。

6.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配
。这种方法通常叫做按比例分配。一般有两种解题法

1 ，用分率解:按比例分配通常把总量看作单位一
，即转化成分率 。要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几 ，最后再用总量分别乘几分之几
。

例如：有糖水25克
，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？

1+4=5 糖占1/5 用 25×1/5得到糖的数量 ，水占4/5 用 25×4/5得到水的数量。

2，用份数解：要先求出总份数
，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少 。

例如：有糖水25克 ，糖和水的比为1:4
，糖和水分别有几克？

糖和水的份数一共有1+4=5 一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4

第五单元圆的认识

一
、认识圆形

1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形
。

2 、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点 ，这一点叫做圆心。一般用字母O表示 。它到圆上任意一点的距离都相等.

3
、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径
。一般用字母r表示。把圆规两脚分开
，两脚之间的距离就是圆的半径 。

4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示
。直径是一个圆内最长的线段。

5 、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 。

6、在同一个圆内或等圆内 ，有无数条半径
，有无数条直径
。所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7.在同圆或等圆内 ，直径的长度是半径的2倍
，半径的长度是直径的1/2 。用字母表示为：d=2r或r=d/2

8
、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合 ，这个图形是轴对称图形
。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

9、长方形 、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴 。这些图形都是轴对称图形
。

10
、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形 、等腰梯形
、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是： 长方形；只有3条对称轴的图形是： 等边三角形；只有4条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆 、圆环 。

11
、画对称轴要用铅笔画
，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点
。

二、圆的周长

1 、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示 。

2
、圆周率实验：（滚动法）在圆形纸片上做个记号 ，与直尺0刻度对齐
，在直尺上滚动一周，得到圆的周长。或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长（测绳法）
。

发现 ，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即3倍多一点
，我们把它叫做圆周率用字母π表示。

3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率 。用字母π(pai) 表示
。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

(1) 、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些 ，这个比值是一个固定的数 。圆周率π是一个无限不循环小数
。在计算时
，一般取π ≈ 3.14。

(2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍 ，而不是3.14倍 。　

4
、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd

(1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率
，用字母表示

d = C ÷π或圆的周长等于2乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr

(2) 、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的2倍 ，

用字母表示 r = C ÷ 2π（r = C / 2π）

5
、在一个正方形里画一个的圆，圆的直径等于正方形的边长
。在一个长方形里画一个的圆
，圆的直径等于长方形的宽。

6、区分周长的一半和半圆的周长：

(1) 、周长的一半：等于圆的周长÷2

计算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r

(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径 。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推导过程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r）

三
、圆的面积

1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积
。 用字母S表示。

2 、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形 。　长方形的长相当于圆的周长的一半 ，长方形的宽相当于圆的半径。

(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系
。

圆的半径　 =　长方形的宽

圆的周长的一半　 =　长方形的长

3
、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 ×宽

所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径

即S圆 = C÷2× r＝πr × r＝πr

圆的面积公式：S圆 =πr →　 r = S 圆÷ π

4、环形的面积：一个环形
，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。(R=r+环的宽度.)

S环 = πR -πr 或环形的面积公式：S环 = π(R -r )（建议用这个公式） 。

5 、一个圆 ，半径扩大或缩小多少倍
，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数
。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。

例如：在同一个圆里，半径扩大3倍 ，那么直径和周长就都扩大3倍
，而面积扩大3的平方倍得到9倍 。

6
、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方
。

例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3 ，而面积比是4∶9

7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值
，即：4∶π

8 、当长方形，正方形 ，圆的周长相等时，圆面积
，正方形居中，长方形面积最小。反之 ，面积相同时
，长方形的周长最长，正方形居中 ，圆的周长最短 。

9、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7　

10
、外方内圆（内切圆）公式S=0.86r 推导过程：S=S正-S圆=d -πr=2r×2r-πr =4r -πr =r ×(4-π)=0.86r

11、外圆内方（外切圆）公式S=1.14r 推导过程：S=S圆-S正=πr -dr/2×2=2r×r/2×r=πr -2r =r ×(π-2)=1.14r （把正方形看成两个面积相等的三角形
，三角形的底就是直径，高是半径）

12 、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形
。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关 。

13
、S扇=S圆×n/360；S扇环=S环×n/360

14、扇形也是轴对称图形 ，有一条对称轴
。

15 、常见半径与直径的周长和面积的结果。

半径 半径的平方 直径 周长 面积

1 1 2 6.28 3.14

2 4 4 12.56 12.56

3 9 6 18.84 28.26

4 16 8 25.12 50.24

5 25 10 31.4 78.5

6 36 12 37.68 113.04

7 49 14 43.96 153.86

8 64 16 50.24 200.96

9 81 18 56.52 254.34

10 100 20 62.8 314

1.5 2.25 3 9.42 7.065

2.5 6.25 5 15.7 19.625

3.5 12.25 7 21.98 38.465

4.5 20.35 9 28.26 63.585

5.5 30.25 11 34.54 94.985

7.5 56.25 15 47.1 176.625

第六单元百分数

一
、百分数的意义和写法

（一）、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几 。百分数是指的两个数的比
，因此也叫百分率或百分比。

（二） 、百分数和分数的主要联系与区别：

联系：都可以表示两个量的倍比关系
。

区别：①
、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量 ，所以不能带单位;

分数既可以表示具体的数
，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。

②、百分数的分子可以是整数 ，也可以是小数;

分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数 。

3 、百分数的写法：通常不写成分数形式
，而在原来分子后面加上“%
”来表示，读作百分之
。

二
、百分数和分数、小数的互化

(一)百分数与小数的互化：

1 、小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用0补足） ，同时在后面添上百分号。

2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用0补足）
，同时去掉百分号 。

(二)百分数的和分数的互化

1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分数
。

2
、分数化成百分数：

① 用分数的基本性质 ，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数
，再写成百分数形式。

②先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数) ，再把小数化成百分数 。（建议用这种方法）

(三)常见分数小数百分数之间的互化；

三、用百分数解决问题

(一)一般应用题

1 、常见的百分率的计算方法：

一般来讲
，出勤率
、成活率、合格率 、正确率能达到100%，出米率
、出油率达不到100% ，完成率、增长了百分之几等可以超过100%
。　

2 、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数
，结果写为百分数形式。

例如：例如:男生有20人，女生有15人 ，女生人数占男生人数的百分之几 。

列式是：15÷20=15/20=75﹪　

3
、已知单位“1”的量(用乘法)，求单位“1 ”的百分之几是多少的问题
，数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

(1)百分率前是“的
”： 单位“1”的量×百分率=百分率对应量

(2百分率前是“多或少 ”的数量关系：

单位“1
”的量×(1±百分率)=百分率对应量

4、未知单位“1”的量(用除法)，已知单位“1 ”的百分之几是多少 ，求单位“1”
。 方法与分数的方法相同。

解法：　(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X
，用方程解答 。

(2)算术(用除法)： 百分率对应量÷对应百分率 = 单位“1
”的量

5 、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要写为百分数形式
。看百分率前有没有比多或比少的问题；

百分率前是“多或少”的关系式：

（比少）：具体量÷ (1-百分率)= 单位“1 ”的量；

例如:大米有50千克，比面粉树少50﹪ ，面粉有多少千克。

列式是：50÷（1-50﹪）

（比多）：具体量　÷ (1+百分率)= 单位“1
”的量

例如:工人做110个零件
，比原计划多做了10﹪，原计划做多少个？

列式是：110÷（1+10﹪）

6
、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同 。

用两个数的相差量÷单位“1”的量 =百分之几

即①求一个数比另一个数多百分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数） ，结果写为百分数形式
。

甲比乙多几分之几的问题
，方法A，（甲-乙）÷乙 （建议用）

方法B ，甲÷乙-100﹪

例如：老师计划改40本作业
，实际改了50本，实际比计划多改了百分之几？

列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪

②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数） ，结果写为百分数形式。

乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲-乙）÷甲（建议用）

方法B
， 100﹪-乙÷甲

例如：张三家用了100度电，李四家用了90度电 ，李四家比张三家少用百分之几？

（100－90）÷100=0.1=10﹪

说明：多百分之几不等于少百分之几
，因为单位一不同 。

7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之几 ，用a﹪÷（1±a﹪）

8 、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假设原来的价格为“1 ”
。求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降价后又上升的百分率。

第七单元：扇形统计图

一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数
，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系 。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)
。

二
、常用统计图的优点：

1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。

2 、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况 。

3
、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系
。（要在统计图上写出百分率）

三、扇形的面积大小：在同一个圆中 ，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关
，圆心角越大，扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比 ，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比 。)

四 、应用：1.会观察统计图。

2
、你得到什么数学信息？

回答①、***占总体的百分之几；

② 、**占的百分比最多
，**占的百分比最少；

3
、你还能提什么数学问题：**和**一共占百分之几
。

数学广角：数与形

1、每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42得出：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方 。

2 、从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n2+n） ，或等于偶数个数乘比偶数个数大1的数即n×（n+1）
。

补充内容（位置）

1
、我们用数对（数对：由两个数组成，中间用逗号隔开
，用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行
”）确定点的位置 。如数对(3 ，5)表示：(第三列
，第五行)

竖排叫列(从左往右看)横排叫行(从前往后看)，先数列再数行
。

2、平移时用“上” 、“下 ”、“前
”
、“后”、“左 ” 、“右
”来表述 ，平移时图形的现状不变。

3
、图形左、右平移： 行不变 ；图形上 、下平移： 列不变

补充内容（“鸡兔同笼”问题）

一
、“鸡兔同笼 ”问题的特点：

题目中有两个或两个以上的未知数
，要求根据总数量，求出各未知数的单量 。

二、“鸡兔同笼”问题的解题方法

1 、假设法（1） 假如都是兔（2） 假如都是鸡；

（一般假设都是大数（脚多的） ，再求出两个脚的相差量
，用大的相差量除以小的相差量得到小数（脚少的）最后再用总的头减小数得到大数
。（我们称为设大得小，设小得大）

例 ，有34个同学去划船
，大船每船坐4人，小船每船坐2人 ，租12条船刚好坐满，问大船和小船各租了几条。

假设法：

①假设全部是大船则坐12×4=48(人)

②那么实际人数与大船做的人数相差48-34=14(人)
，

③实际一条大船比一条小船多坐4-2=2(人)

④大的相差量÷小的相差量得到小的量（即得到小船的数量），14÷2=7（条）

⑤总的船减小的船得到大的船12-7=5（条） 。(要注意单位)

2
、列方程法：例有34个同学去划船 ，大船每船坐4人
，小船每船坐2人，租12条船刚好坐满 ，问大船和小船各租了几条
。

解：设大船有X条
，则小船有12-X条

4X+2×(12-X)=34 4X是大船坐的人数，4是大船每船坐4人 ，2×(12-X)是小船坐的人数
，小船每船坐2人，有(12-X)条船 ，相加就得到总人数34人。2×(12-X)用乘法分配律计算得到24-2X. 。

所以4X+2×(12-X)=34

4X+2×12-2×X=34

4X+24-2 X=34

2 X+24=34

2 X=34-24

2 X=10

X=5

12-5=7（条）

答：租大船5条
，小船7条。

圆的认识(一)

1.圆中心的一点叫圆心,用O表示.一端在圆心,另一端在圆上的线段叫半径,用r表示.两端都在圆上,并过圆心的线段叫直径,用d表示.

2.圆有无数条半径,有无数条直径.

3.圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

圆的认识(二)

4.把圆对折,再对折就能找到圆心.

5.圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴.圆有无数条对称轴.

6.在同一个圆里,直径的长度是半径的2倍,可以表示为d＝2r或r＝d/2.

圆的周长和半圆的周长：

7.圆一周的长度就是圆的周长.半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径
。

8.圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示,计算时通常取3.14.

9.C＝πd或C＝πr.

10.1π＝3.14 2π＝6.28 3π＝9.42 4π＝12.56 5π＝15.7 6π＝18.84 7π＝21.98 8π＝25.12 9π＝28.26 10π＝31.4

圆的面积

11.用S表示圆的面积, r表示圆的半径,那么S＝πr^2 S环＝π(R^2-r^2)

12.11^2＝121 12^2＝144 13^2＝169 14^2＝196 15^2＝225 16^2＝256 17^2＝289 18^2＝324 19^2＝361 20^2＝400

13.周长相等时,圆的面积最大.面积相等时,圆的周长最小.

百分数的应用

百分数的应用(四)

14.利息＝本金乘利率乘时间

比的认识

15.两个数相除,又叫做这两个数的比.比的后项不能为0.16.比的前项和后项同时乘上或除以一个相同的数(0除外).比值不变,这叫做比的基本性质.

六年级全册数学知识点(整个小学阶段和中学都通用，比较重要)

基本概念：行程问题是研究物体运动的 ，它研究的是物体速度、时间 、行程三者之间的关系。

基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间

关键问题：确定行程过程中的位置

相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式）

追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间

顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速

静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水 速＝（顺水速度－逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式 。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程
，参照以上公式
。

和差问题公式

（和+差）÷2=较大数； （和-差）÷2=较小数。

和倍问题公式

和÷（倍数+1）=一倍数； 一倍数×倍数=另一数， 或 和-一倍数=另一数 。

差倍问题公式

差÷（倍数-1）=较小数； 较小数×倍数=较大数 ， 或 较小数+差=较大数
。

平均数问题公式

总数量÷总份数=平均数。

一般行程问题公式

平均速度×时间=路程； 路程÷时间=平均速度； 路程÷平均速度=时间 。

反向行程问题公式反向行程问题可以分为“相遇问题
”（二人从两地出发
，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种
。这两种题，都可用下面的公式解答：

（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；

相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；

相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。

同向行程问题公式

追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；

追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；

（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程 。

列车过桥问题公式

（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；

（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；

速度×过桥时间=桥
、车长度之和
。

行船问题公式

（1）一般公式：

静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；

船速-水速=逆水速度；

（顺水速度+逆水速度）÷2=船速； （顺水速度-逆水速度）÷2=水速。

（2）两船相向航行的公式：

甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度

（3）两船同向航行的公式：

后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度 。

（求出两船距离缩小或拉大速度后 ，再按上面有关的公式去解答题目）。

仅供参考:

工程问题公式

（1）一般公式：

工效×工时=工作总量； 工作总量÷工时=工效； 工作总量÷工效=工时
。

（2）用假设工作总量为“1 ”的方法解工程问题的公式：

1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；

1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。

（注意：用假设法解工程题
，可任意假定工作总量为2、3 、4、5…… 。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题 ，计算将变得比较简便
。）

盈亏问题公式

（1）一次有余（盈）
，一次不够（亏），可用公式：

（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

例如 ，“小朋友分桃子
，每人10个少9个，每人8个多7个 。问：有多少个小朋友和多少个桃子？
”

解（7+9）÷（10-8）=16÷2

=8（个）………………人数

10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子

或8×8+7=64+7=71（个）（答略）

（2）两次都有余（盈） ，可用公式：

（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数
。

例如，“士兵背子弹作行军训练
，每人背45发，多680发；若每人背50发 ，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？”

解（680-200）÷（50-45）=480÷5

=96（人）

45×96+680=5000（发）

或50×96+200=5000（发）（答略）

（3）两次都不够（亏）
，可用公式：

（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数 。

例如，“将一批本子发给学生 ，每人发10本
，差90本；若每人发8本，则仍差8本
。有多少学生和多少本本子？ ”

解（90-8）÷（10-8）=82÷2

=41（人）

10×41-90=320（本）（答略）

（4）一次不够（亏） ，另一次刚好分完
，可用公式：

亏÷（两次每人分配数的差）=人数。

（例略）

（5）一次有余（盈），另一次刚好分完 ，可用公式：

盈÷（两次每人分配数的差）=人数 。

（例略）

鸡兔问题公式

（1）已知总头数和总脚数
，求鸡
、兔各多少：

（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数
。

或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。

例如，“有鸡、兔共36只 ，它们共有脚100只，鸡 、兔各是多少只？
”

解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；

36-14=22（只）……………………………鸡 。

解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；

36-22=14（只）…………………………兔。

（答 略）

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数
，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式

（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数

或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数
。（例略）

（3）已知总数与鸡兔脚数的差数 ，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时
，可用公式。

（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数 。

或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数
。（例略）

（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：

（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数 。

例如 ，“灯泡厂生产灯泡的工人
，按得分的多少给工资
。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分 ，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡
，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”

解一 （4×1000-3525）÷（4+15）

=475÷19=25（个）

解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）

＝1000-18525÷19

=1000-975=25（个）（答略）

（“得失问题 ”也称“运玻璃器皿问题
” ，运到完好无损者每只给运费××元
，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元…… 。它的解法显然可套用上述公式
。）

（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数 ，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。

例如
，“有一些鸡和兔，共有脚44只 ，若将鸡数与兔数互换
，则共有脚52只 。鸡兔各是多少只？”

解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2

=20÷2=10（只）……………………………鸡

〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2

=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）

***植树问题公式

（1）不封闭线路的植树问题：

间隔数+1=棵数；（两端植树）

路长÷间隔长+1=棵数
。

或 间隔数-1=棵数；（两端不植）

路长÷间隔长-1=棵数；

路长÷间隔数=每个间隔长；

每个间隔长×间隔数=路长。

（2）封闭线路的植树问题：

路长÷间隔数=棵数；

路长÷间隔数=路长÷棵数

=每个间隔长；

每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长 。

（3）平面植树问题：

占地总面积÷每棵占地面积=棵数

求分率
、百分率问题的公式

比较数÷标准数=比较数的对应分（百分）率；

增长数÷标准数=增长率；

减少数÷标准数=减少率。

或者是

两数差÷较小数=多几（百）分之几（增）；

两数差÷较大数=少几（百）分之几（减）
。

增减分（百分）率互求公式

增长率÷（1+增长率）=减少率；

减少率÷（1-减少率）=增长率。

比甲丘面积少几分之几？ ”

解 这是根据增长率求减少率的应用题 。按公式，可解答为

百分之几？
”

解 这是由减少率求增长率的应用题 ，依据公式
，可解答为

求比较数应用题公式

标准数×分（百分）率=与分率对应的比较数；

标准数×增长率=增长数；

标准数×减少率=减少数；

标准数×（两分率之和）=两个数之和；

标准数×（两分率之差）=两个数之差
。

求标准数应用题公式

比较数÷与比较数对应的分（百分）率=标准数；

增长数÷增长率=标准数；

减少数÷减少率=标准数；

两数和÷两率和=标准数；

两数差÷两率差=标准数；

方阵问题公式

（1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数。

（2）空心方阵：

（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数 。

或者是

（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数
。

总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。

例如，有一个3层的中空方阵 ，最外层有10人
，问全阵有多少人？

解一 先看作实心方阵，则总人数有

10×10=100（人）

再算空心部分的方阵人数 。从外往里 ，每进一层
，每边人数少2，则进到第四层 ，每边人数是

10-2×3=4（人）

所以，空心部分方阵人数有

4×4=16（人）

故这个空心方阵的人数是

100-16=84（人）

解二 直接运用公式
。根据空心方阵总人数公式得

（10-3）×3×4=84

原价等于现价除以打几折

打几折等于原价除以现价

现价等于原价乘以打几折

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